Question

已知定义在R的的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>0时,f（x）<0,又f（1）=,

   （1）求征,f（x）为奇函数;

   （2）求证:f（x）在R上是减函数;

   （3）求f（x）在[-3,6]上的最大值与最小值;

Answer 1

解．（1）证明:令x=y=0,由f（x）+f（y）=f（x+y）,得f（））=0,再令y=-x得,f（x）+f（-x）=0,

∴F（x）在R上为奇函数．（4分）

   （2）设x₁,x₂且x₁<x₂,则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）

∴f（x₂-f（x₁）=f（x₂-x₁）,∵x₂-x₁>0,由题意得f（x₂-x₁）<0,即f（x₂）-f（x₁）<0

∴f（x）在R是减函数;（4分）

       （3）∵f（x）在[-3,6]上是减函数,∴f（x）_max=f（3）=2, f（x）_min=f（6）=-4（4分）