题目内容

给出下列命题：
①若椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部；
②以抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆心，以
p
2
为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．
其中真命题的序号为
①③④
①③④
．（写出所有真命题的序号）
分析：①利用椭圆的定义，可得椭圆上的点P′满足|P′F1|+|P′F2|=10，故可判断；
②以抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆心，以
p
2
为半径的圆的方程为(x-
p
2
)2+y2=
p2
4
，与抛物线y2=2px联立，即可求得交点的个数；
③分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标，即可判断；
④求出抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值，即可得结论．
解答：解：①椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的左右焦点分别为F1、F2，∴椭圆上的点P′满足|P′F1|+|P′F2|=10，∴动点P满足|PF1|+|PF2|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部，故①为真命题；
②以抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆心，以
p
2
为半径的圆的方程为(x-
p
2
)2+y2=
p2
4
，将抛物线y2=2px代入，并化简可得：x2+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆心，以
p
2
为半径的圆与该抛物线有1个公共点，故②为假命题；
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1的焦点为（±
34
，0），椭圆
x2
35
+y2=1的焦点为（±
34
，0），因此双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点，故③为真命题；
④设抛物线y2=4x上动点P（x，y），则P到其焦点的距离为
(x-1)2+y2
=
(x-1)2+4x
=
(x+1)2

∵x≥0，∴P到其焦点的距离为x+1，∴x+1≥1，∴抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1，故④为真命题
故真命题为①③④
故答案为：①③④
点评：本题重点考查圆锥曲线的性质，考查圆锥曲线的综合，解题时，需要利用性质一一进行判断．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：①若复平面内复数z=x-
1
2
i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内，则实数x的取值范围是-
3
2
＜x＜
3
2
；②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；③若z3=1，则复数z一定等于1；④若（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1，其中，正确命题的序号是
 
给出下列命题：
①若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值；
②m＞0是方程
x2
m
+
y2
4
=1表示椭圆的充要条件；
③若f（x）=（x2-8）ex，则f（x）的单调递减区间为（-4，2）；
④A（1，1）是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1内一定点，F是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点P，使得PA+2PF的最小值为3．
其中为真命题的序号是
 
．

给出下列命题：

①若椭圆长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的标准方程为；

②曲线在点处的切线方程是；

③命题“若，则”的逆否命题是：“若,则”；

④高台跳水运动员在秒时距水面高度(单位：米)，则该运动员的初速度为(米/秒)；

⑤“”是“”的充分条件。

正确的命题是           。

 
给出下列命题：
①若椭圆的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部；
②以抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．
其中真命题的序号为    ．（写出所有真命题的序号）

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