题目内容

已知一列椭圆 $数学公式$ ．n=1，2…．若椭圆C_n上有一点P_n，使P_n到右准线l_n的距离d_n是{p_nF_n}与{P_nG_n}的等差中项，其中F_n、G_n分别是C_n的左、右焦点．
（I）试证： $数学公式$ （n≥1）；
（II）取 $数学公式$ ，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）．

证明：（I）由题设及椭圆的几何性质有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=1．
设 $\text{[math]}$ ，则右准线方程为 $\text{[math]}$ ．
因此，由题意d_n应满足 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，解之得： $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ．从而对任意 $\text{[math]}$ ．

（II）设点P的坐标为（x_n，y_n），则由d_n=1及椭圆方程易知 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．因{F_nG_n}=2G_n，
故△P_nF_nG_n的面积为S_n=G_n{y₄}，
从而 $\text{[math]}$ ．
令f（c）=-2c³+c²+2c-1．由f′（c）=-6c²+2c+2=0．
得两根 $\text{[math]}$ ．从而易知函数f（c）在 $\text{[math]}$ 内是增函数．
而在 $\text{[math]}$ 内是减函数．
现在由题设取 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 是增数列．
又易知 $\text{[math]}$ ．
故由前已证，知S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）
分析：（I）由题设及椭圆的几何性质有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=4．设 $\text{[math]}$ ，则右准线方程为 $\text{[math]}$ ．由题设条件能推出 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ．从而证出对任意 $\text{[math]}$
（II）设点P的坐标为（x_n，y_n），由题设条件能够推出{F_nG_n}=2G_n，△P_nF_nG_n的面积为S_n=G_n{y₄}，由此入手能够证出S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）．
点评：本题综合考查椭圆、数列和不等式的知识，难度较大，解题时要综合考虑，恰当地选取公式．