Question

如图，已知圆C的方程为：x²+y²-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）两点．
（I）在圆上求一点Q，使△ABQ的面积最大，并求出最大面积；
（II）在圆上求一点P，使|AP|²+|BP|²取得最小值．

Answer 1

分析：（I）由于|AB|为定值，故△ABQ的面积最大，Q的纵坐标最大值；
（II）利用两点间的距离公式，表示出|AP|²+|BP|²，化简，求|AP|²+|BP|²取得最小值转化为使|OP|²最小即可．

解答：解：（I）圆C化为标准方程为：（x-3）²+（y-4）²=4，C坐标是（3，4），|AB|=2
∵S_△ABQ=

1

2

|AB|×|y_Q|，
∴Q的纵坐标最大值时，面积最大
∵C坐标是（3，4），∴Q纵坐标为：4+2=6即Q（3，6）时，面积的最大值是6；
（II）设P（x，y），则|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2
要使|AP|²+|BP|²取得最小值，只要使|OP|²最小即可
∵P为圆上的点，∴点P为OC连线于圆C的交点
直线OC：y=

4

3

x，与（x-3）²+（y-4）²=4联立，可得25x²-150x+189=0
∴x=

9

5

或x=

21

5

＞3（舍去）
∴y=

12

5

∴P的坐标为（

9

5

，

12

5

）．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．