题目内容
【题目】若存在正整数m，使得f（n）=（2n﹣7）3n+9（n∈N*）都能被m整除，则m的最大值为 ．
【答案】6
【解析】解：由f（n）=（2n﹣7）3n+9，得f（1）=﹣6， f（2）=﹣3×6，f（3）=﹣3×6，f（4）=15×6，由此猜想m=6．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立．
②假设n=k时，f（k）能被6整除，
即f（k）=（2k﹣7）3k+9能被6整除；
当n=k+1时，[2（k+1）﹣7]3k+1+9=3[（2k﹣7）3k+9]+18（3k﹣1﹣1），
由于3k﹣1﹣1是2的倍数，故18（3k﹣1﹣1）能被6整除．
这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被6整除．
由①②可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）3n+9能被6整除，
m的最大值为6，
所以答案是：6．
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