Question

如图，四面体OABC的三条棱OA、OB、OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；
对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；
对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等；
对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

解答：解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=

13

，AB=2

2

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确；
对于②，由①知AC=BC=

13

，AB=2

2

，
使AB=AD=BD，此时存在点D，CD=

13

，使四面体C-ABD是正三棱锥，故②不正确；
对于③，取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
对于④，先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故答案为：③④．

点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题．