Question

在△ABC中，已知P为中线AD的中点．过点P作一直线分别和边AB、AC交于点M、N，设，
（Ⅰ）求证：△ABC的面积；
（Ⅱ）求当时，求△AMN与△ABC的面积比．

Answer 1

证明：（Ⅰ）：当∠B是直角时，S_△ABC=BA•BC•sinB，结论成立，
当∠B不是直角时，过A作直线BC的垂线，垂足为H，
若∠B是锐角，则AH=AB•sinB，∴S_△ABC=BA•BC•sinB，
若∠B是钝角，则AH=AB•sin（π-B）=AB•sinB∴S_△ABC=BA•BC•sinB．
综上所述，S_△ABC=BA•BC•sinB的结论成立．------------------（6分）
（Ⅱ）因为D为BC的中点，P为AD的中点，∴，∴）--------（8分）
∴，
有知，存在实数λ，使得，
可得=xy，又x+y=，xy=，-----------------（13分）
由（Ⅰ）知．-----------------（16分）
分析：（Ⅰ）通过对当∠B是直角时，当∠B不是直角时，过A作直线BC的垂线，垂足为H，若∠B是锐角，若∠B是钝角，分别证明△ABC的面积；
（Ⅱ）由D为BC的中点，P为AD的中点，通过，，利用知，存在实数λ，使得，得到x+y=，xy=，由（Ⅰ）求出的值．
点评：本题考查向量的基本运算，分类讨论的思想，三角形的面积的求法，向量之间的转化是解题的关键，考查计算能力．