Question

△ABC中，命题p：cosB＞0；命题q：函数y=sin(B+

π

3

)为减函数
设向量

m

=(sin(

π

3

+B)，sinB-sinA)，

n

=(sin(

π

3

-B)，sinB+sinA)
（1）如果命题p为假命题，求函数y=sin(B+

π

3

)的值域；
（2）命题p且q为真命题，求B的取值范围
（3）若向量

m

⊥

n

，求A．

Answer 1

分析：（1）由题意可得cosB≤0 可得

π

2

≤B＜π，

5π

6

≤B+

π

3

＜

4π

3

，从而得到函数y=sin(B+

π

3

)的值域．
（2）由 cosB＞0 可得 0＜B＜

π

2

，再根据函数y=sin(B+

π

3

)为减函数，求得

π

6

＜B＜

π

2

．
 （3）若向量

m

⊥

n

，则

m

•

n

=0，求得 sin²A=

3

4

，即 sinA=

3

2

，可得A 的值．

解答：解：（1）由题意可得cosB≤0，∴

π

2

≤B＜π，∴

5π

6

≤B+

π

3

＜

4π

3

，
故函数y=sin(B+

π

3

)的值域为（-

3

2

，

1

2

]．
（2）由于命题p且q为真命题，∴cosB＞0，∴0＜B＜

π

2

．∵函数y=sin(B+

π

3

)为减函数，
∴

π

2

＜B+

π

3

＜

5π

6

，∴

π

6

＜B＜

π

2

．
（3）若向量

m

⊥

n

，则

m

•

n

=0，∴sin（

π

3

+B） sin（

π

3

- B）+（sinB-sinA）（sinB+sinA）=0，

3

4

cos²B-

1

4

sin2B+sin²B-sin²A=0，∴sin²A=

3

4

，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

，或

2π

3

．

点评：本题考查正弦函数的单调性，定义域和值域，根据三角函数的值求角，两个向量垂直的性质，求出sinA的值，是解题的难点．