题目内容
已知a，b∈R+，下列不等式：①a+b+
≥2
，②(a+b)(
+
)≥4，③
≥a+b，④
≥
，其中一定恒成立的是
| 1 | ||
|
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a2+b2 | ||
|
| 2ab |
| a+b |
| ab |
①②③
①②③
（填写序号）．分析：利用a+b≥2
证明①正确；把左边展开后再用基本不等式进行证明②正确；利用平方后作差、变形和判断符号证明③正确；把a+b≥2
取倒数后，再两边同乘以2ab证明出④不正确．
| ab |
| ab |
解答：解：由于a，b∈R+，则
①、∵a+b≥2
，当且仅当a=b时取等号，∴2
+
≥2
成立，故①正确；
②、(a+b)(
+
)=2+
+
≥4，当且仅当
=
时取等号，故②正确；
③、∵(
)2-(a+b)2=
[a4+b4+2a2b2-ab（a+b）2]
=
(a4+b4-a3b-ab3)=
[a3(a-b) +b3(b-a)]=
[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=
(a-b)2[(a+
)2+
) ]≥0，∴
≥a+b，故③正确；
④、∵a+b≥2
，当且仅当a=b时取等号，∴
≤
=
，故④不对；
故答案为：①②③．
①、∵a+b≥2
| ab |
| ab |
| 1 | ||
|
| 2 |
②、(a+b)(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
③、∵(
| a2+b2 | ||
|
| 1 |
| ab |
=
| 1 |
| ab |
| 1 |
| ab |
| 1 |
| ab |
=
| 1 |
| ab |
| b |
| 2 |
| 3b2 |
| 4 |
| a2+b2 | ||
|
④、∵a+b≥2
| ab |
| 2ab |
| a+b |
| 2ab | ||
2
|
| ab |
故答案为：①②③．
点评：本题考查了基本不等式的应用，结合做差法以及两边平方后再作差，后不等式取倒数等进行证明，注意：“一正、二定、三相等”的说明．
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