Question

试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆

x2

3

+y2=1交于两个不同点M，N，且使M，N，且使M，N到点A（0，1）的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设直线l：y=kx+m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．然后利用韦达定理和根与系数的关系能够推导出当k∈（-1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l．

解答：解：设直线l：y=kx+m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可
由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则xp=

x1+x2

2

=-

3mk

1+3k2

，yp=kxp+m=

m

1+3k2

，∴kAP=

3k2-m+1

3mk

．∵AP⊥MN∴

3k2-m+1

3mk

=-

1

k

(k≠0)，
故m=-

3k2+1

2

．
由△=36m²k²-4（1+3k²）（3m²-3）=9（1+3k²）．（1-k²）＞0，
得-1＜k＜1，且k≠0．
故当k∈（-1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要合理地进行等价转化，注意韦达定理和根与系数的关系的灵活运用．