题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y=4x+m对称时m的取值范围为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，点M（x₀，y₀）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，故3x²+4y²-12=0，
设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），
则 3 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =12，①
3 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =12 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
∴y₀=3x₀，代入直线方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因为（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，解得- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法的应用，突出化归思想的考查，属于难题．