题目内容
已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2
的直线交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2),且|AB|=
(1)求该抛物线的方程;
(2)在抛物线C上求一点D,使得点D直线y=x+3的距离最短.
2 |
9 |
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(1)求该抛物线的方程;
(2)在抛物线C上求一点D,使得点D直线y=x+3的距离最短.
分析:(1)设出直线AB的方程与y2=2px联立,结合:|AB|=x1+x2+p=
,可求抛物线的方程;
(2)设D(x,y),求出点D直线y=x+3的距离,利用配方法求最值,即可得到结论.
9 |
2 |
(2)设D(x,y),求出点D直线y=x+3的距离,利用配方法求最值,即可得到结论.
解答:解:(1)直线AB的方程是y=2
(x-
),与y2=2px联立,有4x2-5px+p2=0,
∴x1+x2=
.
由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=
∴p=2,∴抛物线方程是y2=4x.
(2)设D(x,y),则点D直线y=x+3的距离为
=
=
,
∴y=2时,点D直线y=x+3的距离最短为
,此时D(1,2).
2 |
p |
2 |
∴x1+x2=
5p |
4 |
由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=
9 |
2 |
∴p=2,∴抛物线方程是y2=4x.
(2)设D(x,y),则点D直线y=x+3的距离为
|x-y+3| | ||
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| ||
|
|
| ||
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∴y=2时,点D直线y=x+3的距离最短为
2 |
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
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A、充分不必要条件 | B、必要不充分条件 | C、充要条件 | D、既不充分也不必要条件 |