题目内容

已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2
2
的直线交抛物线于A(x1y2),B(x2y2),且|AB|=
9
2

(1)求该抛物线的方程;
(2)在抛物线C上求一点D,使得点D直线y=x+3的距离最短.
分析:(1)设出直线AB的方程与y2=2px联立,结合:|AB|=x1+x2+p=
9
2
,可求抛物线的方程;
(2)设D(x,y),求出点D直线y=x+3的距离,利用配方法求最值,即可得到结论.
解答:解:(1)直线AB的方程是y=2
2
(x-
p
2
),与y2=2px联立,有4x2-5px+p2=0,
∴x1+x2=
5p
4

由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=
9
2

∴p=2,∴抛物线方程是y2=4x.
(2)设D(x,y),则点D直线y=x+3的距离为
|x-y+3|
2
=
|
y2
4
-y+3|
2
=
|
1
4
(y-2)2+2|
2

∴y=2时,点D直线y=x+3的距离最短为
2
,此时D(1,2).
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
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