题目内容
已知a，b为不相等实数，设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），命题：“?x1，x2∈（a，b），λ＞0，且x1＜x2，都有f(
)＞
”为真，那么下列4个结论中正确的个数是（ ）
①f（x）在区间（a，b）内必有极大值；
②f（x）在区间（a，b）内单调增；
③必定存在唯一的x0∈（a，b），使得f′（x0）=
；
④导函数f′（x）在区间（a，b）上单调递减．
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
①f（x）在区间（a，b）内必有极大值；
②f（x）在区间（a，b）内单调增；
③必定存在唯一的x0∈（a，b），使得f′（x0）=
| f(a)-f(b) |
| a-b |
④导函数f′（x）在区间（a，b）上单调递减．
分析：根据题意判定函数是凸函数，画出函数的图象后，利用数形结合逐一判定四个结论的真假，即可得到答案．
解答：解：∵?x1，x2∈（a，b），λ＞0，
∴P1（x1y1），P2（x2，y2） 的定比分点P（
，
）
∵f（
）＞
，
∴函数为凸函数，故③正确；
故f′（x）在区间（a，b）上递减，故④正确；
但f（x）在区间（a，b）内的单调性无法判断，
故①②错误
故选：B
∴P1（x1y1），P2（x2，y2） 的定比分点P（
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
∵f（
| x1+λx2 |
| 1+λ |
| f(x1)+λf(x2) |
| 1+λ |
∴函数为凸函数，故③正确；
故f′（x）在区间（a，b）上递减，故④正确；
但f（x）在区间（a，b）内的单调性无法判断，
故①②错误
故选：B
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的凸凹性和单调性，其中分析出函数的凸凹性是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
的两个不相等实根为
．集合
，
{2，4，5，6}，
{1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝
，求
的值？