Question

已知长方体一个顶点上的三条棱的长别是3，4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125π，则x=

10

．（球的表面积公式S=4πR²，其中R表示球的半径）

Answer 1

分析：根据球的表面积公式，算出半径R满足R²=

125

4

，从而算出长方体对角线的平方等于125，再由对角线长公式建立关于x的方程，即可解出x的值．

解答：解：由题意，该球是长方体的外接球．设球的半径为R，
∵球的表面积为125π，∴4πR²=125π，解得R²=

125

4

因此，长方体的对角线长满足l²=（2R）²=125
可得3²+4²+x²=125，解之得x=10（舍负）
故答案为：10

点评：本题给出长方体的外接球面积，在已知长、宽的情况下求高的值．着重考查了长方体的对角线长公式、球的表面积公式等知识，属于基础题．