Question

设关于x的函数f（x）=mx²﹣（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m为R上的常数，若函数f（x）在x=1处取得极大值0．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围；
（3）设函数 ，若对任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x﹣2x²恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（1） = 
因为函数f（x）在x=1处取得极大值0
所以， 解m=﹣1
（2）由（1）知 ，
令f'（x）=0得x=1或 （舍去）
所以函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
所以，当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=ln1﹣1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，当k＜0时，函数f（x）的图象与直线y=k有两个交点，
（3）设  

当p=0时， ，F（x）在[1，2]递增，F（1）=﹣2＜0不成立，（舍）
当p≠0时  当 ，即﹣1＜p＜0时，
F（x）在[1，2]递增，F（1）=﹣2p﹣2＜0，不成立
当 ，即p＜﹣1时，F（x）在[1，2]递增，
所以F（1）=﹣2p﹣2≥0，解得p≤﹣1，
所以，此时p＜﹣1 当p=﹣1时，F（x）在[1，2]递增，成立；
当p＞0时，F（1）=﹣2p﹣2＜0不成立，
综上，p≤﹣1