Question

对于函数f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

，已知f（

π

6

）=1．
（1）求a的值；
（2）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象（不要求书写作图过程）．
（3）根据画出的图象写出函数y=f（x）在[0，π]上的单调区间和最值．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

=

a

2

sin2x+

1

2

cos2x，由f(

π

6

)=1能求出a=

3

．
（2）由f(x)=sin(2x+

π

6

)，能作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象．
（3）结合图象，能够写出函数y=f（x）在[0，π]上的单调区间和最值．

解答：解：（1）f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

=asinxcosx+cos²x-

1

2

=

a

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

a

2

sin2x+

1

2

cos2x，
∵f(

π

6

)=1，∴

a

2

sin

π

3

+

1

2

cos

π

3

=1，
即

a

2

•

3

2

+

1

2

•

1

2

=1，解得a=

3

．…（4分）
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+

π

6

)
函数f（x）在x∈[0，π]上的图象如右图，
…（8分）
（3）由图可知，y=f（x）在[0，π]上的增区间为[0，

π

6

]，[

2

3

π，π]，
减区间为[

π

6

，

2

3

π]…（10分）
当x=

π

6

时，f（x）_max=1；当x=

2

3

π时，f（x）_min=-1．…（12分）

点评：本题考查三角函数的图象和性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的合理运用．