Question

（1）曲线C：y=ax³+bx²+cx+d在（0，1）点处的切线为l₁：y=x+1在（3，4）点处的切线为l₂：y=-2x+10，求曲线C的方程；
（2）求曲线S：y=2x-x³的过点A（1，1）的切线方程．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导数，根据y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案；
（2）过这一点的切线和在这点的切线要区分开来，应先设出切点坐标．

解答：解：（1）已知两点均在曲线C上．∴

d=1 27a+9b+3c+d=4

∵y′=3ax²+2bx+cf′（0）=cf′（3）=27a+6b+c
∴

c=1 27a+6b+c=-2

，可求出d=1，c=1，a=-

1

3

，b=1
∴曲线C：y=-

1

3

x3+x2+x+1
（2）设切点为P（x₀，2x₀-x₀³），则斜率k=f′（x₀）=2-3x₀²，
过切点的切线方程为：y-2x₀+x₀³=（2-3x₀²）（x-x₀）
∵过点A（1，1），
∴1-2x₀+x₀³=（2-3x₀²）（1-x₀）
解得：x₀=1或x0=-

1

2

，
当x₀=1时，切点为（1，1），切线方程为：x+y-2=0
当x0=-

1

2

时，切点为(-

1

2

，-

7

8

)，切线方程为：5x-4y-1=0

点评：本题是对导数几何意义的深度考查．也是近两年来高考在导数这部分的考查内容．