Question

已知

a

=(

3

cos

x

2

，2cos

x

2

)，

b

=(2cos

x

2

，-sin

x

2

)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）设θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐标表示，计算

a

•

b

，然后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，变形后再利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，由f(θ)=

3

+1代入后即可求出cos（θ+

π

6

）的值，由θ的范围求出θ+

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；
（2）由C为三角形的内角根据（2）θ的度数求出C的度数，进而求出sinC的值，利用三角形的面积公式S=

1

2

abcosC，由S和cosC的值表示出ab的值，再由c与cosC的值，利用余弦定理表示出a²+b²的值，两者联立即可求出a与b的值，最后利用正弦定理化简所求的式子，得到关于a与b的关系式，把a与b的值代入即可求出值．

解答：解：（1）根据题意化简得：f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

（3分）
由f（θ）=2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1，得cos(θ+

π

6

)=

1

2

，（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

(k∈Z)，
因为θ∈[-

π

2

， 

π

2

]，所以θ=-

π

2

或

π

6

；（7分）
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因为△ABC的面积为

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

，（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变形，三角形的面积公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．