Question

已知点P是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是(     )

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁F₂中点
∴|OM|=|F₂N|=||PN|﹣|PF₂||=||PF₁|﹣|PF₂||
∵在椭圆中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a﹣ex₀，
∴||PF₁|﹣|PF₂||=|a+ex₀+a﹣ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P点在椭圆上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵当|x₀|=a时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故选A．