Question

一圆与两条平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+1=0上,求圆的方程.

Answer 1

思路分析:本题关键在于求出圆的圆心.设所求圆的圆心为(a,b),已经知道其在直线2x+y+1=0,再列出一个关于a、b的方程就可以确定a、b的值了.圆与两条平行直线相切,则其圆心到两条直线的距离相等.要求到两条平行直线距离相等的直线的方程很自然想到是两条平行直线方程“平均”后的结果,

即=x+3y-4=0,这利用点到直线的距离公式不难证明.联立两条直线方程就得到圆心的坐标,利用点到直线的距离公式求的其到一条直线的距离即为半径长度.

解:设所求圆的圆心为(a,b),由圆与两条平行直线相切,由几何性质我们知圆的圆心到两条平行直线的距离相等,列出表达式即为,化简得a+b=4,又由圆心在直线2x+y+1=0上,得2a+b+1=0,联立关于a、b的两个二元一次方程,

得a=,b=.所以圆心为(,),到其中一条直线的距离,

图4-8

即为圆的半径长.所以圆的方程是(x+)²+(y-)²=.