Question

一个圆环直径为2MD∥APm，通过铁丝BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示．
（1）设BC长为x（m），铁丝总长为y，试写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：（1）本题结构图可看成圆锥，CA₁，CA₂，CA₃为该三棱锥的三条侧棱，圆锥的高为2-x，利用圆锥的性质可得到侧棱即母线的长，进而能得到y与x的关系，需要注意实际问题中自变量x的取值范围．
（2）在（1）中结论的基础上求函数的最值可利用导数来解决，另外还是要注意实际问题，极值点是否在定义域内取到，从而得到最值．

解答：解：（1）由题意C，A₁，A₂，A₃四点构成一个正三棱锥，CA₁，CA₂，CA₃为该三棱锥的三条侧棱，…（2分）
三棱锥的侧棱CA1=

(2-x)2+2

，…（4分）
于是有y=x+3

(2-x)2+2．

（0＜x＜2）…（6分）
（2）对y求导得y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．…（8分）
令y′=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，解得x=

3

2

或x=

5

2

（舍），…（10分）
当x∈(0，

3

2

)时，y′＜0，当x∈(

3

2

，2)时，y′＞0
故当x=

3

2

时，即BC=1.5m时，y取得最小值为6m．…（14分）

点评：本题是一道函数应用问题，要注意问题中的自变量x，即定义域的作用，本题考查了圆锥这一简单几何体的结构特征，综合考查了函数的导数以及利用导数求解函数的最值问题．