题目内容

如图所示,将数以斜线作如下分群:(1),(2,3),(4,6,5),(8,12,10,7),(16,24,20,14,9),….并顺次称其为第1群,第2群,第3群,第4群,….则第7群中的第2项是:
96
96

1 3 5 7 9
2 6 10 14 18
4 12 20 28 36
8 24 40 56 72
16 48 80 112 114
第n群中n个数的和是:
3•2n-2n-3
3•2n-2n-3
分析:观察数列群,得到第一个数列,第2个数列,…都是以2为公比的等比数列,不难求出第7群中的第2项;第n群中n个数表示出后,求出和即可.
解答:解:由题意数列可以转化为:
1
2    3
4    6     5
8    12    10   7
16   24    20   14   9
32   48    40   28   19   11

类似杨辉三角,可知每一列都是等比数列,每一行最后一个数是等差数列,公差为2,
所以第7群中的第2项是:3×25=96.
第n个群中n个数为:Sn=1×2 n-1+3×2n-2+5×2 n-3+…+(2n-1)•2 0…①
2Sn=1×2 n+3×2n-1+5×2 n-2+…+(2n-1)•2 1…②,
②-①得,Sn=2 n+2×2n-1+2×2 n-2+…+2•2 1-2n+1
=2 n+2n+2 n-1+…+2 2-2n+1
=2 n+
4(1-2n-1)
1-2
-2n+1

=3•2n-2n-3.
故答案为:96;3•2n-2n-3.
点评:本题是中档题,考查新定义,学生分析问题解决问题的能力,转化思想的应用,找出数列的特征是解题的关键.
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