题目内容
若△ABC三边成等差数列，则B的范围是分析：设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围；当三边成等比数列时，利用等比数列的性质得到b的平方等于ac的积，同理利用余弦定理表示出cosB，把求出的关系式代入后，利用基本不等式即可得到cosB的最小值，根据B的范围，且根据余弦函数在此范围为减函数，即可得到B的范围．
解答：解：设三角形的三边分别为a，b，c，
由三边成等差数列可知：b=
，
由余弦定理得：cosB=
=
=
≥
=
，
当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，
]；
由三边成等比数列可知：b2=ac，
由余弦定理得：cosB=
=
≥
=
，
同理可得B∈（0，
]．
故答案为：（0，
]；（0，
]．
由三边成等差数列可知：b=
| a+c |
| 2 |
由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
a2+c2-(
| ||
| 2ac |
| 3(a2+c2)-2ac |
| 8ac |
| 6ac-2ac |
| 8ac |
| 1 |
| 2 |
当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，
| π |
| 3 |
由三边成等比数列可知：b2=ac，
由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
同理可得B∈（0，
| π |
| 3 |
故答案为：（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象与性质，灵活运用基本不等式求函数的最大值，是一道综合题．
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