题目内容

(1)已知函数y=f(x)在区间D上是奇函数,函数y=g(x)在区间D上是偶函数,求证:G(x)=f(x)•g(x)是奇函数;
(2)已知分段函数f(x)是奇函数,当x∈[0,+∞)时的解析式为y=x2,求这个函数在区间(-∞,0)上的解析表达式.

(1)证明:因为y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
则G(-x)=f(-x)•g(-x)=-f(x)•g(x)=-G(x),
所以G(x)是奇函数;
(2)解:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
则f(-x)=(-x)2=x2
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-x2
故f(x)=-x2,x∈(-∞,0).
分析:(1)由f(x),g(x)的奇偶性可得,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),再根据奇偶性的定义即可证明G(x)为奇函数;
(2)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),由已知表达式可求得f(-x),根据奇函数性质可得f(-x)=-f(x),从而可求得f(x).
点评:本题考查函数奇偶性的判断及其应用,属基础题,定义是解决该类问题的基础.
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