题目内容

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根; ②函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1.”
(I)判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]⊆D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根.
分析:(I)判定函数 f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否满足:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”
(II)证明只有一个的问题,可利用反正法进行证明,假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β),然后寻找矛盾,从而肯定结论.
解答:解:(I)因为f′(x)=
1
2
+
1
4
cosx

所以f′(x)∈[
1
4
3
4
]
满足条件0<f'(x)<1,
又因为当x=0时,f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有实数根0.
所以函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是集合M中的元素.
(II)证明:假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)-α=0,f(β)-β=0
不妨设α<β,根据题意存在数c∈(α,β),
使得等式f(β)-f(α)=(β-α)f'(c)成立
因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β,所以f'(c)=1
与已知0<f'(x)<1矛盾,所以方程f(x)-x=0只有一个实数根.
点评:本题考查了导数的运算,方程的解、三角函数性质,等知识,考查反证法、以及阅读能力,是一道函数综合问题.
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