Question

有一解三角形的题目，因纸张破损有一个条件丢失，具体如下：在△ABC中，已知a=

3

，2cos²

A+C

2

=（

2

-1）cosB，

c=

6 + 2

2

，求角A．经推断，破损处的条件为三角形的一边长度，且答案为A=60°．将条件补充完整填在空白处．

Answer 1

分析：根据二倍角三角函数公式结合诱导公式化简整理，得cosB=

2

2

，所以B=45°．再分已知边b或已知边c两种情况加以讨论，结合三角形中大边对大角，可得只有已知
c=

6 + 2

2

时，A=60°，是唯一确定的解．

解答：解：∵2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，∴1+cos（A+C）=（

2

-1）cosB，即1-cosB=（

2

-1）cosB，整理得cosB=

2

2

．
又∵0°＜B＜180°，∴B=45°．
接下来分两种情况讨论：
（1）若已知边b，由

b

sin45°

=

3

sin60°

，求得b=

2

．
检验：

b

sinB

=

a

sinA

，等价于

2

sin45°

=

3

sinA

，等价于sinA=

3

2

．
又因为A∈（0，π），且a＞b，所以A＞B，∴A=60° 或者A=120°，这与已知角A的解为唯一解矛盾．
（2）若已知边c，由B=45°，结合A=60°，得C=75°．
由

c

sin75°

=

3

sin60°

，可得 c=

6 + 2

2

．
检验：

c

sinC

=

a

sinA

，等价于

6 + 2 2

sin75°

=

3

sinA

，即sinA=

3

2

．
又∵A∈（0，π），且c＞a，∴只有A=60°，且此解是唯一解，符合题意．
综上所述，可得破损处应该填上：c=

6 + 2

2

，能使角A有唯一解A=60°，
故答案为 c=

6 + 2

2

．

点评：本题给出三角形一边和一角，探索三角形有唯一解的问题，着重考查了运用正、余弦定理解三角形，和三角恒等变换等知识，属于中档题．