题目内容

求下列函数的定义域、值域及单调性．
（1）y=（ $数学公式$ ）6+x-2x²；
（2）y=（ $数学公式$ ）^-|x|．

解：（1）函数的定义域为R，
令u=6+x-2x²，则y=（ $\text{[math]}$ ）^u．
∵二次函数u=6+x-2x²=-2（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴函数的值域为{y|y≥（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ }．
又∵二次函数u=6+x-2x²的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，
在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上u=6+x-2x²是减函数，
在（-∞， $\text{[math]}$ ]上是增函数，又函数y=（ $\text{[math]}$ ）^u是减函数，
∴y=（ $\text{[math]}$ ）6+x-2x²在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
在（-∞， $\text{[math]}$ ]上是减函数．
（2）定义域为x∈R．
∵|x|≥0，∴y=（ $\text{[math]}$ ）^-|x|=（ $\text{[math]}$ ）^|x|≥（ $\text{[math]}$ ）⁰=1．
故y=（ $\text{[math]}$ ）^-|x|的值域为{y|y≥1}．
又∵y=（ $\text{[math]}$ ）^-|x|是偶函数，
且y=（ $\text{[math]}$ ）^-|x|= $\text{[math]}$ 所以函数y=（ $\text{[math]}$ ）^-|x|在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
分析：（1）由题令u=6+x-2x²，则y=（ $\text{[math]}$ ）^u．则函数为单调递减的指数函数，u为二次函数，则求出u的最大值得到y的最小即可求出值域，定义域为R，u的对称轴求出，在对称轴左边函数增函数，右边为减函数，在根据复合函数求出y的单调区间即可；
（2）y为指数函数定义域为R，且为单调递减，|x|最小值为0，分x大于0，小于0，等于0以及y为偶函数讨论函数的单调区间即可．
点评：考查函数理解函数定义域即求法的能力，以及掌握指数函数的单调性与特殊点，求指数函数的定义域和值域的能力．