题目内容
已知圆的方程为,过点作直线与圆交于、两点。
(1)若坐标原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程;
(2)当△的面积最大时,求直线AB的斜率;
(3)如图所示过点作两条直线与圆O分别交于R、S,若,且两角均为正角,试问直线RS的斜率是否为定值,并说明理由。
【答案】
(1)直线AB的方程为;
(2) 时△面积最大,此时直线AB的斜率为 ;
(3)直线RS的斜率为定值。
【解析】
试题分析:(1)设过点的直线方程为,∵原点到直线AB的距离为,∴则,∴直线AB的方程为 4′
(2)直线AB的方程:代入圆的方程得
由韦达定理得,
∵ 7′
∴当时,即时△面积最大,此时直线AB的斜率为 10′
(3)设点,将直线RS的方程,代入圆的方程得
由韦达定理得①
,则
即(*),
又∵②
则①②代入(*)式整理得,即,当时,
直线RS过定点不成立,故直线RS的斜率为定值 16′
(注:若用其他正确的方法请酌情给分)
考点:本题主要考查直线方程,直线与圆的位置关系,两角和的正切公式。
点评:中档题,研究直线与圆的位置关系,半径、弦长一半、圆心到直线的距离所构成的“特征三角形”是重点,另外,通过构建方程组,得到一元二次方程后,应用韦达定理,实现整体代换较为普遍。本题考查知识覆盖面广,对考生计算能力、数形结合思想有较好考查。
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