Question

已知F₁（﹣2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|﹣|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（﹣1，0），问：当直线l 绕点F₂ 转动的时候，是否都有=0？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵F₂（﹣2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|﹣|PF₂||=2，
∴c=2，a=1，b²=3，
∴点P的轨迹E的方程为：．
（2）①若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x﹣2），
由，
消y得：（3﹣k²）x²+4k²x﹣4k²﹣3=0，
∵l与曲线交于不同点P，Q，
∴，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
，，，
∵M（﹣1，0），
∴
                =（k²+1）x₁x₂﹣（2k²﹣1）（x₁+x₂）+1+4k²=0．
②若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，﹣3），M（﹣1，0），
∴成立，故当直线l绕点F₂旋转时，均有．