题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，
，
两点的坐标分别为
，
，动点
满足：直线
与直线
的斜率之积为
.
（1）求动点
的轨迹方程；
（2）过点
作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于
，
两点，求
面积的最小值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意得，利用
，即
，即可求解椭圆的标准方程；（2）设
，
，把直线方程与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式，即可求解出三角形的面积表示，在利用基本不等式即可求解面积的最小值.
试题解析：（1）已知
，
，设动点
的坐标
，
所以直线
的斜率
，直线
的斜率
，
又，所以，即.
（2）设，，直线
的方程为
，与椭圆
联立
消去
得
，
，
.
∵
，∴
，∴
.
即
，把
，
代入得
，
整理得
，所以
到直线
的距离
.
∵
，∴
，当且仅当
时取“=”号.
由
得
，∴
，
即弦
的长度的最小值是
.
所以三角形的最小面积为
.
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【题目】某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：
1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | |
甲组 | 4 | 5 | 7 | 9 | 10 |
乙组 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此判断哪组工人的技术水平更好；
（2）质监部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，否则“不合格”.求该车间“质量不合格”的概率.
