题目内容

在双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中，F为右焦点，B为左顶点．点A在x轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列．过F作C位于一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为P．
（1）求证：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
；
（2）若
|OB|
|OA|
=2，|FP|=2
3
，过点（0，-2）的直线l与双曲线C交于不同两点M与N，O为坐标原点．求
OM
•
ON
的取值范围．
分析：（1）先由|OA|，|OB|，|OF|成等比数列求出A点坐标．再由过F作C，位于一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为P，求得p点坐标，根据P、A点坐标得PA⊥OF，再把要证明的结论变形即可．
（2）由给出的条件先求出双曲线C的方程，设直线l的方程y=kx-2；再把
OM
•
ON
用M和N的坐标表示，即含k的代数式，利用直线和双曲线的方程有两不等根，即△＞0，解得k的范围，从而求出
OM
•
ON
的范围．
解答：解：（1）设A（x，0），x＞0．而F（c，0），B（-a，0）．
由题意得，a2=x•c，所以x=
a2
c
，即A(
a2
c
，0)．
双曲线位于一、三象限的渐近线方程为y=
b
a
x，其过F的垂线为y=-
a
b
(x-c)，
联立两直线方程可求出P(
a2
c
，
ab
c
)．
可见PA⊥OF
PA
•
OP
-
PA
•
FP
=
PA
•(
OP
-
FA
)=
PA
•
OF
=0，所以
PA
•
OP
=
PA
•
FP
．
（2）因为
|OB|
|OA|
=
a
a2
c
=
c
a
=2，|FP|=
bc
a2+b2
=b=2
3
，所以C：
x2
4
-
y2
12
=1
设l：y=kx-2代入双曲线方程得（3-k2）x2+4kx-16=0，又设M（x1，y1），N（x2，y2）
则
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4，
由韦达定理，上式=12+
40
k2-3
．再由△=16k2+4×16（3-k2）＞0?0≤k2＜4且k2≠3，
由此可求出
OM
•
ON
的范围是(-∞，-
4
3
]∪(52，+∞)
点评：此题是一道数列和双曲线的综合应用题，该题考查了双曲线的几何性质，直线和双曲线的关系，
解答此题关键在于找出几何关系及直线和双曲线的交点与方程组的解相互联系，不要忽视了“△＞0”这个隐含条件．
练习册系列答案
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已知点（2，3）在双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为
 
．
已知点（2，3）在双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的渐近线方程为
y=±
3
x
y=±
3
x
．
已知点（2，3）在双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为（　　）
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
（1）若a=4，b=3，过点P（6，3）的动直线l与双曲线C相交于不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|，求证点Q总在某定直线上．
（2）在双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交于不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|，则点Q在哪条定直线上？
（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．

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