题目内容

已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=x2
上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，
若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．
解：∵y= x2，∴y′=，y′|x=n=，
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程为：y﹣=（x﹣n），
令y=0，则x=，即an=；
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n﹣an=  
（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，
则|AnCn|=2bn∴n=，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形  
（3）证明：∵===（﹣）
Sn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜
又1﹣随n的增大而增大，
∴当n=1时，Sn的最小值为：（1﹣）=，
∴≤Sn＜
练习册系列答案
相关题目
已知一列非零向量
an
，n∈N*，满足：
a1
=（10，-5），
an
=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n32 ）．，其中k是非零常数．
（1）求数列{|
an
|}是的通项公式；
（2）求向量
an-1
与
an
的夹角；（n≥2）；
（3）当k=
1
2
时，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
，O为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（tn，sn），且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B（t，s）为点列的极限点．）
已知一列非零向量
an
满足：
a1
=(x1，y1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|
an
|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量
a
n-1与
a
n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设
a
1=(1，2)，把
a1
，
a2
，…，
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记为
b1
，
b2
，…，
.
bn
，…，令
OB
n=
b1
+
b2
+…+
bn
，0为坐标原点，求点列{Bn}的极限点B的坐标．
（注：若点Bn坐标为(tn，sn)，且
lim
n→∞
tn=t，
lim
n→∞
sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）

数列{an}中a1＝1，a5＝13，an+2＋an＝2an+1；数列{bn}中，b2＝6，b3＝3，bn+2bn＝b，在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，…，Pn(an，bn)…，则向量＋…＋P2009P2010的坐标为

[　　]
A．

(3015，8[()1005－1])

B．

(3012)，8[()1005－1]

C．

(3015，8[()2010－1])

D．

(3018，8[()2010－1])
数列{an}中a1=1，a5=13，an+2+an=2an+1；数列{bn}中，b2=6，b3=3，bn+2bn=b2n+1，在直角坐标平面内，已知点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，Pn（an，bn）…，则向量的坐标为
[     ]
A.（3015，8[（）1005-1]）
B.（3012，[（）1005-1]）
C.（3015，[（）2010-1]）
D.（3018，[（）2010-1]）

数列{an}中a1=1，a5=13，an＋2＋an=2an+1；数列{bn}中，b2=6，b3=3，bn＋2bn=b2n+1,在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，…，Pn(an，bn)，…，则向量＋＋＋…＋的坐标为（      ）

A．                      B．

C．                      D．

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