题目内容

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]且f[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0。
解：(Ⅰ)令x1=x2=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]时，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，2x∈[1，2]，
∴2x-1∈[0，1]，
∴满足条件①；
又g(1)=21-1=1，
∴满足条件②；
设x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则，
，
，
∵x1≥0，x2≥0，
∴，
∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)，
∴满足条件③，
∴同时满足①②③．
(Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假设若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾；
同理若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾；
∴假设不成立，
∴f(x0)=x0。
练习册系列答案
相关题目
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+时，f（x）＜2x．
已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．
已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．

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