题目内容

设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2 $数学公式$ ，左焦点到左准线的距离为3 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

解：设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），
则2b=2 $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ．
由-c-（ $\text{[math]}$ ）=3 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，得c= $\text{[math]}$ ．
于是a²=b²+c²=21+7=28，椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．（5分）
（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1中，得x=y=±2 $\text{[math]}$ ，则点P（2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），Q（2 $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ），于是点O到l的距离为2 $\text{[math]}$ ．（7分）
若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组 $\text{[math]}$ 的两个实数解，
消去y，整理，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-84）=12（28k²-m²+21）＞0，①
x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1，即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1，x₁x₂+y₁y₂=0．
于是x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．③
将x₁+x₂，x₁x₂代入上式，得（1+k²）• $\text{[math]}$ -km $\text{[math]}$ +m²=0，
∴（k²+1）（4m²-84）-8k²m²+m²（4k²+3）=0，
化简，得m²=12（k²+1）．④
④代入①满足，因此原点O到直线l的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0），b= $\text{[math]}$ ．由-c-（ $\text{[math]}$ ）=3 $\text{[math]}$ ，得c= $\text{[math]}$ ．由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，设l与x正半轴交于点M，将x=y代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1中，得到点P（2 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），Q（2 $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ），于是点O到l的距离为2 $\text{[math]}$ ．若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组 $\text{[math]}$ 的两个实数解，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．