Question

设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n且an=2

2Sn

-2；
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并写出推证过程；
（Ⅲ）令bn=

4

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵an=2

2Sn

-2
n=1时可得，a1=2

2s1

-2∴a₁=2
把n=2代入可得a₂=6，n=3代入可得a₃=10；
（Ⅱ）8S_n=a_n²+4a_n+4…（1）
8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4…（2）
（2）-（1）得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n-4=0
a_n+1-a_n=4
∴{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列．a_n=a₁+（n-1）d=4n-2
（ III）bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．