Question

已知数列是等差数列，

(1)求数列的通项；

(2)设数列的通项 (其中a＞0，且a≠1)，

记S_n是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.

Answer 1

(1)设数列的公差为，由题意得

解得           ∴

(2)由知

因此要比较与的大小，可先比较与的大小.

取有

取有，

……

由此推测

 若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当时，

 当时，.

 下面用数学归纳法证明①式.

 (i)当时已验证①式成立.

 (ii）假设当时，①式成立，

 即.

 那么，当时，

 ∵

∴

 因而

 这就是说①式当时也成立.

由(i)(ii)知，①式对任何自然数都成立.由此证得：

当时，

 当时，

 评述：该题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.