Question

把边长为4的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边沿边线向上折起，做成一个无盖的方底铁盒．
（1）把铁盒容积V表示为x的函数V（x），并指出其定义域；
（2）确定V（x）的单调区间；
（3）若要求铁盒的高度x与底面正方形边长的比值不超过常数a，问x取何值时，铁盒容积有最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出铁盒的底面边长，从而求出底面面积，容积为底面积乘以高即可求得函数V（x），使得边长大于0可求出定义域；
（2）先求V′（x），然后令V′（x）=0，求出极值点，根据导数符号可确定函数的单调区间；
（3）根据铁盒的高度x与底面正方形边长的比值不超过常数a，求出函数的定义域，然后利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．

解答：解：（1）铁盒的底面边长为4-2x，高为x，则V（x）=x（4-2x）²，
由

x＞0 4-2x＞0

得函数定义域是{x|0＜x＜2}．
（2）V（x）=4（x³-4x²+4x），
V′（x）=4（3x²-8x+4）=4（3x-2）（x-2），
令V′（x）=0得x=

2

3

或x=2（舍去）
当0＜x＜

2

3

时，V′（x）＞0；
当

2

3

＜x＜2时，V′（x）＜0．
故V'（x）在区间(0，

2

3

]上是增函数，在区间[

2

3

，2)上是减函数； 
（3）由题意，

x

4-2x

≤a，且a＞0解得V（x）的定义域是{x|0＜x≤

4a

1+2a

}，其中a＞0，

4a

1+2a

＜

4a

2a

=2，
由（2）知当

4a

1+2a

≤

2

3

，即0＜a≤

1

4

时，V（x）在(0，

4a

1+2a

]上是增函数，
∴x=

4a

1+2a

时，V（x）有最大值，
当

4a

1+2a

＞

2

3

，即a＞

1

4

时，V（x）在(0，

2

3

]上增函数，在[

2

3

，

4a

1+2a

]上是减函数．
∴x=

2

3

时，V（x）有最大值．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．