题目内容
设双曲线C:y2 |
a2 |
x2 |
3 |
1 |
2 |
(I)求a的值;
(II)若双曲线C的两个焦点分别为F1、F2,A、B分别为l1,l2上的点,且2|AB|=3|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
分析:(I)由题设知:l1,l2的方程为:y=±
x,由点到直线的距离公式得
=
,由此能求出a的值.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),由2|AB|=3|F1F2|,知|AB|=
|F1F2| =
×2c=6
=6,再由y1+y2=
(x1-x2),y1-y2=
(x1+x2),能求出线段AB的中点M的轨迹.
a | ||
|
a | ||
|
1 |
2 |
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),由2|AB|=3|F1F2|,知|AB|=
3 |
2 |
3 |
2 |
(x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| ||
3 |
| ||
3 |
解答:解:(I)由题设知:l1,l2的方程为:y=±
x,
由点到直线的距离公式得
=
,
∴a=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),
∵2|AB|=3|F1F2|,
∴|AB|=
|F1F2| =
×2c
=6
=6,
又y1=
x1,y2=-
x2,2x=x1+x2,2y=y1+y2,
∴y1+y2=
(x1-x2),y1-y2=
(x1+x2),
∴
=6,
∴3(2y)2+
(2x)2=36,
即
+
=1,
所以M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为6
,短轴长为2
的椭圆.
a | ||
|
由点到直线的距离公式得
a | ||
|
1 |
2 |
∴a=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),
∵2|AB|=3|F1F2|,
∴|AB|=
3 |
2 |
3 |
2 |
=6
(x1-x2)2+(y1-y2)2 |
又y1=
| ||
3 |
| ||
3 |
∴y1+y2=
| ||
3 |
| ||
3 |
∴
[
|
∴3(2y)2+
1 |
3 |
即
x2 |
27 |
y2 |
3 |
所以M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为6
3 |
3 |
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

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