题目内容

设双曲线C:
y2
a2
-
x2
3
=1(a>0)
的两条渐近线l1,l2与以点(1,0)为圆心,
1
2
为半径的圆相切.
(I)求a的值;
(II)若双曲线C的两个焦点分别为F1、F2,A、B分别为l1,l2上的点,且2|AB|=3|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
分析:(I)由题设知:l1,l2的方程为:y=±
a
3
x
,由点到直线的距离公式得
a
a2+3
=
1
2
,由此能求出a的值.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),由2|AB|=3|F1F2|,知|AB|=
3
2
|F1F2|  =
3
2
×2c
=6
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=6
,再由y1+y2=
3
3
(x1-x2)
y1-y2=
3
3
(x1+x2)
,能求出线段AB的中点M的轨迹.
解答:解:(I)由题设知:l1,l2的方程为:y=±
a
3
x

由点到直线的距离公式得
a
a2+3
=
1
2

∴a=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),
∵2|AB|=3|F1F2|,
|AB|=
3
2
|F1F2|  =
3
2
×2c

=6
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=6

y1=
3
3
x1y2=-
3
3
x2
,2x=x1+x2,2y=y1+y2
y1+y2=
3
3
(x1-x2)
y1-y2=
3
3
(x1+x2)

[
3
(y1+y2)]
2
+[
3
3
(x1+x2)]
2
=6

3(2y)2+
1
3
(2x)2=36

x2
27
+
y2
3
=1

所以M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为6
3
,短轴长为2
3
的椭圆.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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