题目内容

6．正项数列{an}，a1=1，且an•an+12=36，求an的通项公式．

分析 把已知的数列递推式两边取对数，得到log3an+2log3an+1=6，换元后构造等比数列，然后利用等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由an•an+12=36，两边取以3为底数的对数，得
log3an+2log3an+1=6，
设bn=log3an，
∵a1=1，∴b1=log3a1=log31=0．
bn+2bn+1=6，即${b}_{n+1}=-\frac{1}{2}{b}_{n}+3$．
∴${b}_{n+1}-2=-\frac{1}{2}（{b}_{n}-2）$．
∴${b}_{n}-2=（{b}_{1}-2）•（-\frac{1}{2}）^{n-1}=（-\frac{1}{2}）^{n-2}$．
则${b}_{n}=2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}$，
∴${a}_{n}={3}^{{b}_{n}}={3}^{2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式及对数性质的应用，是中档题．

练习册系列答案
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