Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，设其前n项和为S_n，且满足：Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据Sn=(

an+1

2

)2求出a₁，然后代入即可求出a₂与a₃；
（2）由Sn=(

an+1

2

)2得4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，研究{a_n}的相邻项的关系，由此关系求其通项即可．
（3）由（2）可得 bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂项求和即可．

解答：解：（1）由Sn=(

an+1

2

)2得a1=S1=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1
由1+a2=S2=(

a2+1

2

)2解得a₂=3
由1+3+a3=S3=(

a3+1

2

)2解得a₃=5
（2）当n=1时，a₁=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2
整理得：（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
化简得：a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是公差为2，首项为1的等差数列，
即a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1
（3）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…(+

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

) =

n

2n+1

．

点评：本题考查数列求和，求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和，在裂项时要注意分母上两个因子相差2不是1，故裂项后应乘以

1

2

，此是裂项时空间出错的地方．