Question

若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（3，+∞）

Answer 1

分析：设三个角分别为

π

3

-A，

π

3

，

π

3

+A，由正弦定理可得m=

c

a

=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

，利用两角和差的正弦公式化为

3 +tanA

3 -tanA

，利用单调性求出它的值域．

解答：解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
可设三个角分别为

π

3

-A，

π

3

，

π

3

+A．
故m=

c

a

=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

=

3 2 cosA+ 1 2 sinA

3 2 cosA -  1 2 sinA

=

3 +tanA

3 -tanA

．
又

π

6

＜A＜

π

3

，∴

3

3

＜tanA＜

3

．令 t=tanA，且

3

3

＜t＜

3

，
则 m=

3 +t

3 -t

 在[

3

3

，

3

]上是增函数，∴+∞＞m＞2，
故选B．

点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到m=

sin(  π 3 +A )

sin( π 3 -A)

，是解题的关键和难点．