Question

若复数

3+bi

- 2 5 +i

的实部和虚部互为相反数，且在（ax+1）^b（a≠0）展开式中，x³项的系数是x²项系数与x⁵项系数的等比中项，则a=（　　）

• A、

  16

  5

• B、

  25

  3

• C、

  5

  3

• D、

  25

  9

Answer 1

分析：利用复数的除法运算法则求出复数的实部、虚部，列出方程解出b；代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，求出三项的系数，列出方程求出a．

解答：解：

3+bi

- 2 5 +i

=

(3+bi)(- 2 5 -i)

(- 2 5 +i)(- 2 5 -i)

=

(- 6 5 +b)-(3+ 2 5 b)i

4 25 -i2

∵实部和虚部互为相反数
∴-

6

5

+b=3+

2

5

b解得b=7
（ax+1）^b展开式的通项为T_r+1=C_b^r（ax）^r=a^rC₇^rx^r
x³，x²，x⁵的系数分别是a³C₇³，a²C₇²，a⁵C₇⁵
∴（a³C₇³）²=a²C₇²•a⁵C₇⁵解得a=

25

9

故选D．

点评：本题考查复数的除法运算法则；利用二项展开式的通项公式求特定项问题．