题目内容
直线l过点M(2,1)且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)当△OAB的面积最小时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当|MA|•|MB|取最小值时,求直线l的方程.
(Ⅰ)当△OAB的面积最小时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当|MA|•|MB|取最小值时,求直线l的方程.
分析:(I)设出直线l的截距式方程:
+
=1(a、b均为正数),根据题意利用基本不等式求出当且仅当a=4、b=2时,△OAB面积为S=4达到最小值,由此即可得到直线l的方程的方程;
(II)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为P、N,设∠MAP=α,利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=
,根据正弦函数的值域可得当α=45°时,|MA|•|MB|=4达到最小值,进而得到此时直线l方程为x+y-3=0.
x |
a |
y |
b |
(II)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为P、N,设∠MAP=α,利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=
4 |
sin2α |
解答:解:(I)设直线l方程为
+
=1(a、b均为正数),
∵l过点M(2,1),
∴
+
=1.
∵1=
+
≥2
,化简得ab≥8,当且仅当
=
时,即a=4,b=2时,等号成立,
∴当a=4,b=2时,ab有最小值8,
此时△OAB面积为S=
ab=4达到最小值.
直线l的方程的方程为
+
=1,即x+2y-4=0.
(II)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为P、N
设∠MAP=α,则Rt△MPA中,
sinα=
,得|MA|=
=
,
同理可得:|MB|=
∴|MA|•|MB|=
=
∵sin2α∈(0,1],
∴当2α=90°时,即α=45°时,sin2α=1达到最大值,|MA|•|MB|=
=4达到最小值,
此时直线l的斜率k=-1,得直线l方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
x |
a |
y |
b |
∵l过点M(2,1),
∴
2 |
a |
1 |
b |
∵1=
2 |
a |
1 |
b |
|
2 |
a |
1 |
b |
∴当a=4,b=2时,ab有最小值8,
此时△OAB面积为S=
1 |
2 |

直线l的方程的方程为
x |
4 |
y |
2 |
(II)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为P、N
设∠MAP=α,则Rt△MPA中,
sinα=
|MP| |
|MA| |
|MP| |
sinα |
1 |
sinα |
同理可得:|MB|=
2 |
cosα |
∴|MA|•|MB|=
2 |
sinαcosα |
4 |
sin2α |
∵sin2α∈(0,1],
∴当2α=90°时,即α=45°时,sin2α=1达到最大值,|MA|•|MB|=
4 |
sin2α |
此时直线l的斜率k=-1,得直线l方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
点评:本题给出经过定点的直线,求满足特殊条件的直线方程.着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知识,属于中档题.

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