Question

过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=4，则这样的直线有    条．

Answer 1

【答案】分析：右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，经检验满足条件，当AB的斜率存在时，设直线AB方程为y-0=k
（x-），代入双曲线化简，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，由|AB|=4=，
解得k=±1，得到满足条件的斜率存在的直线有两条，故总共有3条．
解答：解：右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，直线AB方程为 x=，
代入双曲线的方程可得y=±2，即A，B两点的纵坐标分别为2 和-2，满足|AB|=4．
当AB的斜率存在时，设直线AB方程为 y-0=k（x-），代入双曲线的方程化简可得
（2-k²） x²-2 k² x+3k²-2=0，∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴|AB|=4=，平方化简可得 （3k⁴+6）（k²-1）=0，
∴k=±1，都能满足判别式△=12-4（2-k²）（3k²-2）＞0．
所以，满足条件的且斜率存在的直线有2条．
综上，所有满足条件的直线共有3条，
故答案为 3．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键和难点．