题目内容

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^?）顺次为抛物线y= $数学公式$ x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y= $数学公式$ x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{ $数学公式$ }的前n项和为S_n，求证： $数学公式$ ≤S_n＜ $数学公式$ ．

（1）解：∵y= $\text{[math]}$ x²，∴y′= $\text{[math]}$ ，y′|_x=n= $\text{[math]}$ ，
∴点B_n（n，b_n）作抛物线y= $\text{[math]}$ x2的切线方程为：y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-n），
令y=0，则x= $\text{[math]}$ ，即a_n= $\text{[math]}$ ；（3分）
∵点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n= $\text{[math]}$ （5分）
（2）解：若等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，则|A_nC_n|=2b_n?
∴n= $\text{[math]}$ ，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂为直角三角形（9分）
（3）证明：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（11分）
∴S_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$
又1- $\text{[math]}$ 随n的增大而增大，
∴当n=1时，S_n的最小值为： $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤S_n＜ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）利用导数，求得点B_n（n，b_n）作抛物线y= $\text{[math]}$ x2的切线方程，令y=0，可得a_n= $\text{[math]}$ ，根据点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形，可得a_n+c_n=2n，由此可求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，则|A_nC_n|=2b_n，由此可知存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂为直角三角形；
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），从而可求S_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ），进而可知 $\text{[math]}$ ≤S_n＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查导数的几何意义，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，考查数列与解析几何的综合，属于中档题．