Question

已知数列是以d为公差的等差数列，数列是以q为公比的等比数列．
（1）若数列的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项．

Answer 1

分析：（1）由题意知，an=2n，bn=2•qn-1，所以由S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，能求出整数q的值．
（2）假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_m+p-1，由bn=2n，得到k≥m+p，另由b_k＞b_m+p-1，得到k＜m+p，矛盾．所以，这要的项b_k不存在．
（3）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，则d=

ar(q-1)

s-r

，由此推导出b_i一定是数列的项．

解答：解：（1）由题意知，an=2n，bn=2•qn-1，
所以由S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，b1+b2+b3＜a1004+5b2-2012⇒b1-4b2+b3＜2008-2012⇒q2-4q+3＜0，…（3分）．解得1＜q＜3，
又q为整数，所以q=2．…（5分）
（2）假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_m+p-1，
因为bn=2n，
∴bk＞bm+p-1⇒2k＞2m+p-1⇒k＞m+p-1⇒k≥m+p（*）…（8分）
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1+…+2n+p-1=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这要的项b_k不存在…（11分）
（3）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
则d=

ar(q-1)

s-r

…（12分）
又b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)d⇒arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

s-r

，
从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

，
因为a_s≠a_r⇒b₁≠b₂，所以q≠1，a_r≠0，
故q=

t-r

s-r

-1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2…（14分）
对于数列中任一项b_i（这里只要讨论i＞3的情形），
有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)=ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2)=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整数，
所以b_i一定是数列的项…（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．