Question

已知双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定椭圆的焦点坐标，设双曲线的方程为：（a＞0，b＞0），利用双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线的方程；
（2）直线与双曲线C联立，消元，可证明：x_Ax_B+y_Ay_B=0，即可证得以AB为直径的圆过原点．
解答：解：（1）椭圆的焦点坐标为（0，±）
设双曲线的方程为：（a＞0，b＞0），则，∴a=1，b=2
∴双曲线；
（2）直线与双曲线C联立，消元可得
∴y_Ay_B=-4，
∴x_Ax_B=2y_Ay_B+（y_A+y_B）+4=4
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0
∴OA⊥OB
∴以AB为直径的圆过原点．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，运用韦达定理是关键．