Question

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为

3

4

，

2

3

，

1

2

，乙队每人答对的概率都是

2

3

．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=

P(AB)

P(A)

，能求出结果．

解答：解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

3

4

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

1

24

，
P（ξ=1）=

3

4

（1-

2

3

）（1-

1

2

）+（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

3

4

）（1-

2

3

）×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=2）=

3

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+

3

4

×(1-

2

3

)×

1

2

+(1-

3

4

)×

2

3

×

1

2

=

11

24

，
P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

数学期望E（ξ）=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）=

1

4

×

C

3 3

×(

2

3

)3+

11

24

×

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)+

1

4

×

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

1

3

，
P（AB）=

1

4

×

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

1

18

，
P（B|A）=

P(AB)

P(A)

=

1 18

1 3

=

1

6

．

点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．