Question

已知△AOB的顶点A在射线l1：y=

3

x(x＞0)上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l₁上移动时，记点M的轨迹为W．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设N（2，0），过N的直线l与W相交于P、Q两点．求证：不存在直线l，使得

OP

•

OQ

=1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B两点关于x轴对称，得AB边所在直线与y轴平行．设M（x，y），由题意|AM|•|MB|=3代入点的坐标，即可得点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）先设l：y=k（x-2）或x=2，和点的坐标：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），当直线l：y=k（x-2）时：由题意，知点P，Q的坐标是方程组

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，将直线的方程代入双曲线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与双曲线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系及向量垂直的条件，从而解决问题．

解答：（Ⅰ）解：因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M（x，y），由题意，得A(x，

3

x)， B(x，-

3

x)，
所以|AM|=

3

x-y， |MB|=y+

3

x，
因为|AM|•|MB|=3，
所以(

3

x-y)×(y+

3

x)=3，即x2-

y2

3

=1，
所以点M的轨迹W的方程为x2-

y2

3

=1(x＞0)．
（Ⅱ）证明：设l：y=k（x-2）或x=2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l：y=k（x-2）时：
由题意，知点P，Q的坐标是方程组

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
所以△=（4k²）²-4（3-k²）（-4k²-3）=36（k²+1）＞0，
且3-k²≠0，x1+x2=

4k2

k2-3

， x1x2=

4k2+3

k2-3

，
因为直线l与双曲线的右支（即W）相交两点P、Q，
所以x1+x2=

4k2

k2-3

＞0， x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，即k²＞3.1
因为y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂，=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²，
=(1+k2)•

4k2+3

k2-3

-2k2•

4k2

k2-3

+4k2=

3-5k2

k2-3

，
要使

OP

•

OQ

=1，则必须有

3-5k2

k2-3

=1，解得k²=1，代入1不符合．
所以不存在l，使得

OP

•

OQ

=1．
当直线l：x=2时，P（2，3），Q（2，-3），

OP

•

OQ

=-5，不符合题意．
综上：不存在直线l使得

OP

•

OQ

=1．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、轨迹方程、双曲线方程、向量的运算等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于中档题．