题目内容

若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值,且函数f(x)图象上以点A(3,f(3))为切点的切线与直线5x-y+1=0平行.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)以点A(3,f(3))为切点的切线方程;
(III)若方程f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.

解:(I)f′(x)=3ax2-b,直线5x-y+1=0的斜率为5,…(1分)
由题意:;解得…(4分)
.…(5分)
(II)∵,∵A(3,1),
∴切线方程为y-1=5(x-3),即5x-y-14=0.…(7分)
(III)由(I)得,f′(x)=x2-4,令f′(x)=0,得x=2,或x=-2.…(8分)
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,+2)2(2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)

.…(10分)
函数的图象大致如右:
若方程f(x)=k有3个解,需使直线y=k与函数的图象有3个交点,
由图象可知:.…(12分)
分析:(I)利用函数的导数,以及函数的极值,求出a,b的值,即可求函数f(x)的解析式;
(II)求出函数在以点A(3,f(3))为切点的坐标,求出切线的斜率,即可求出直线方程;
(III)画出函数的图象,求出函数的最值,利用方程f(x)=k有3个解,即可求实数k的取值范围.
点评:本题是中档题,考查 函数的导数的应用,直线的斜率,曲线的切线方程,函数的最值以及考查数形结合的思想,转化思想.
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